Exercice 1

Si $P = A^{2}$ avec $A \in \mathbb{R}[X]$, alors $\deg A = 2$ et le coefficient dominant de $A$ vaut $\pm 1$ ; quitte à remplacer $A$ par $-A$, on écrit $A = X^{2} + \beta X + c$. Le développement donne $$A^{2} = X^{4} + 2\beta X^{3} + (\beta^{2} + 2c)X^{2} + 2\beta cX + c^{2}.$$ Par identification des coefficients : $2\beta = 6$, $c^{2} = 1$, $a = 9 + 2c$ et $b = 6c$. Ainsi $\beta = 3$ et $c = \pm 1$. $$\boxed{(a, b) = (11, 6), \ P = (X^{2} + 3X + 1)^{2} \qquad\text{ou}\qquad (a, b) = (7, -6), \ P = (X^{2} + 3X - 1)^{2}}$$