Exercice 2

(i) Le polynôme nul convient. Si $P \neq 0$ est de degré $n$, les degrés donnent $2n = n + 2$, soit $n = 2$. On écrit $P = aX^{2} + bX + c$ : $$P(X^{2}) = aX^{4} + bX^{2} + c \qquad\text{et}\qquad (X^{2} + 1)P = aX^{4} + bX^{3} + (a + c)X^{2} + bX + c.$$ L'identification donne $b = 0$ et $a + c = b = 0$. $$\boxed{P = a(X^{2} - 1), \quad a \in \mathbb{R}}$$

(ii) Les constantes conviennent. Si $\deg P = n \geqslant 1$, la proposition 4 donne $n^{2} = n$, donc $n = 1$. Avec $P = aX + b$, $a \neq 0$, on obtient $a^{2}X + ab + b = aX + b$, donc $a = 1$ et $b = 0$. $$\boxed{P \text{ constant, ou } P = X}$$

(iii) Si $\deg P = n \geqslant 1$ et $P = a_{n}X^{n} + a_{n - 1}X^{n - 1} + \cdots$, la formule du binôme montre que $P(X + 1) - P(X)$ a pour terme de degré $n - 1$ le monôme $na_{n}X^{n - 1}$, et aucun terme de degré $n$. Il faut donc $n = 2$, et l'on cherche $P = aX^{2} + bX + c$ : $P(X + 1) - P(X) = 2aX + a + b = X$ donne $a = \frac{1}{2}$ et $b = -\frac{1}{2}$. $$\boxed{P = \frac{X(X - 1)}{2} + c, \quad c \in \mathbb{R}}$$ À retenir. La comparaison des degrés réduit une équation fonctionnelle à un nombre fini d'inconnues ; c'est le premier réflexe à avoir.