Exercice 3

Le polynôme nul convient. Sinon, on écrit $P = aX^{n} + R$ avec $a \neq 0$ et $\deg R < n$. Le coefficient de $X^{2n}$ donne $a = a^{2}$, donc $a = 1$. Ensuite, $$P(X^{2}) = X^{2n} + R(X^{2}) \qquad\text{et}\qquad P^{2} = X^{2n} + 2X^{n}R + R^{2},$$ donc $R(X^{2}) - R^{2} = 2X^{n}R$. Si $R \neq 0$, de degré $m < n$, le membre de gauche est de degré au plus $2m$, et celui de droite de degré $n + m > 2m$ : c'est impossible. Donc $R = 0$. $$\boxed{P = 0 \quad\text{ou}\quad P = X^{n}, \ n \in \mathbb{N}}$$