Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 13

Polynômes et fractions rationnelles

72 exercices corrigés · 14   34   16   8

L'anneau $\mathbb{K}[X]$

• Exercice 1 Déterminer les réels a et b tels que X^4 + 6X^3 + aX^2 + bX + 1 soit le carré d'un polynôme de ℝ[X].
• Exercice 2 Déterminer les polynômes P ∈ ℝ[X] vérifiant chacune des équations suivantes. On commencera par comparer les degrés des deux membres. 1. P(X^2) =…
• Exercice 3 Déterminer les polynômes P ∈ ℂ[X] tels que P(X^2) = P(X)^2. On pourra écrire P = aX^n + R avec deg R < n.
• Exercice 4 Déterminer tous les polynômes P ∈ ℂ[X] tels que P(0) = 0 et P(X^2 + 1) = P(X)^2 + 1. On pourra introduire la suite définie par u_0 = 0 et u_(n + 1)…

Divisibilité et division euclidienne

• Exercice 5 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes. 1. X^5 - 3X^3 + 2X + 1 par X^2 + X + 1. 2. 2X^4 - X^3 + 3X - 1 par X^2 - 2X + 3. 3. X^6 - 1 par X^3…
• Exercice 6 Déterminer les couples (λ, μ) ∈ K^2 tels que X^2 + 2 divise X^4 + X^3 + λ X^2 + μ X + 2.
• Exercice 7 Déterminer les complexes a tels que X^2 - aX + 1 divise X^4 - X + a.
• Exercice 8 Soit p ≥ 1 un entier. 1. Montrer que, pour tout k ∈ ℕ, le reste de la division euclidienne de X^k par X^p - 1 est X^r, où r est le reste de la…
• Exercice 9 1. Soit A, B, P trois polynômes, avec P non constant. Montrer que si A ∘ P divise B ∘ P, alors A divise B. 2. Soit P, Q ∈ K[X] et m ∈ ℕ^(). Montrer…

Fonctions polynomiales et racines

• Exercice 10 À l'aide du schéma de Horner, calculer P(3) pour P = X^5 - 4X^4 + 2X^3 + X - 7, et en déduire le quotient de la division de P par X - 3.
• Exercice 11 1. Soit n ∈ ℕ. Le polynôme X^2 + X + 1 divise-t-il X^(3n + 8) + X^(3n + 4) + X^3n dans ℂ[X] ? 2. Soit P ∈ ℝ[X]. Montrer que X^2 - X divise P(X^2 +…
• Exercice 12 1. Soit P ∈ K[X]. Montrer que P - X divise P ∘ P - X. 2. Résoudre dans ℂ l'équation (z^2 + 3z + 1)^2 + 3z^2 + 8z + 4 = 0.
• Exercice 13 1. Soit P ∈ K[X] de degré 3, possédant au moins deux racines dans K, comptées avec leur multiplicité. Montrer que P est scindé sur K. 2. Soit P ∈…
• Exercice 14 Soit n ∈ ℕ^(). Utiliser les relations entre coefficients et racines de X^n - 1 pour retrouver Σ_ω ∈ 𝕌_n ω, puis pour calculer Π_ω ∈ 𝕌_n ω et Σ_ω ∈…
• Exercice 15 Sommes de Newton. 1. Exprimer x^2 + y^2 + z^2 et x^3 + y^3 + z^3 en fonction de σ_1 = x + y + z, σ_2 = xy + xz + yz et σ_3 = xyz. 2. Résoudre les…
• Exercice 16 Factoriser dans ℂ[X] les polynômes suivants, à l'aide de l'information donnée. 1. X^3 - 8X^2 + 23X - 28, sachant que la somme de deux de ses racines…
• Exercice 17 Soit Q ∈ ℝ[X] et P = X^3Q + X^2 + X + 1. On note xi _1, …, xi _n les racines complexes de P, comptées avec leur multiplicité. 1. Montrer que 0 n'est…
• Exercice 18 Déterminer tous les polynômes P ∈ ℂ[X] tels que P(X^2) = P(X) P(X + 1). On examinera le coefficient dominant, puis on démontrera que si λ est une…

Dérivation

• Exercice 19 Déterminer tous les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P(2) = 1, P'(2) = 2, P''(2) = 4 et P^((k))(2) = 0 pour tout k ≥ 3.
• Exercice 20 Soit a ≠ b deux réels et P ∈ ℝ[X]. 1. Exprimer à l'aide de P(a) et P(b) le reste de la division euclidienne de P par (X - a)(X - b). 2. Exprimer à…
• Exercice 21 Dans chacun des cas suivants, déterminer le reste de la division euclidienne de P par Q, pour n ∈ ℕ. 1. P = X^100 et Q = (X - 1)^3(X + 1). 2. P =…
• Exercice 22 1. Soit n ≥ 3 et P = X^(2n + 1) - (2n + 1)X^(n + 1) + (2n + 1)X^n - 1. Déterminer la multiplicité de 1 dans P. 2. Soit n ≥ 1. Déterminer les réels a…
• Exercice 23 Déterminer tous les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P = P'P''.
• Exercice 24 Soit n ∈ ℕ^() et P_n = Σ_(k = 0)^n (X^k)/(k!). 1. Montrer que P_n n'a que des racines simples dans ℂ. On pourra exprimer P_n - P_n'. 2. Montrer que…
• Exercice 25 Soit P ∈ ℝ[X] de degré n ≥ 2. 1. On suppose P scindé sur ℝ. Montrer, à l'aide du théorème de Rolle, que P' est scindé sur ℝ, et que toute racine…
• Exercice 26 Soit P ∈ ℂ[X] non nul tel que P' divise P. 1. Montrer que les racines de P' sont des racines de P. 2. Montrer que P ne peut pas avoir deux racines…
• Exercice 27 Soit Q ∈ ℝ[X] non constant et a ∈ ℝ. 1. On suppose Q scindé à racines simples sur ℝ. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction f: x ↦…

Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$

• Exercice 28 1. Calculer par l'algorithme d'Euclide le PGCD des polynômes X^4 + X^3 - 3X^2 - 4X - 4 et X^4 + X^3 - X^2 - 2X - 2. 2. Soit n ≥ 1. Déterminer le…
• Exercice 29 On pose A = X^4 - X^3 - X^2 - X - 2 et B = X^3 - 7X - 6. Résoudre les équations suivantes, d'inconnue (U, V) ∈ ℝ[X]^2. 1. AU + BV = 1. 2. AU + BV =…
• Exercice 30 Pour n ∈ ℕ^(), on note P_n = X^n - 1. 1. Soit n, m ∈ ℕ^(). Montrer que P_n wedge P_m = P_(n wedge m). On pourra s'inspirer de l'exercice 56 de la…
• Exercice 31 Soit A et B deux polynômes non constants. Montrer que A et B ont un diviseur commun non constant si et seulement s'il existe deux polynômes P et Q…
• Exercice 32 Soit p ∈ ℕ^(). 1. Montrer qu'il existe un unique couple (U, V) ∈ ℝ[X]^2 tel que (1 - X)^pU + X^pV = 1 et deg U < p. 2. Que peut-on dire de deg V ?…

Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et de $\mathbb{R}[X]$

• Exercice 33 1. Soit P ∈ ℂ[X] non constant. Montrer que P n'a que des racines simples si et seulement si P wedge P' = 1. 2. Factoriser dans ℂ[X], puis dans ℝ[X],…
• Exercice 34 Factoriser dans ℝ[X] les polynômes suivants. 1. X^4 - 6X^3 + 9X^2 + 9, que l'on écrira comme une somme de deux carrés. 2. X^9 + X^6 + X^3 + 1, en…
• Exercice 35 On considère le polynôme P = (1 - X^2)^3 + 8X^3. 1. Déterminer les solutions complexes de l'équation ((1 - z^2)/2z)^3 = -1. 2. En déduire la…
• Exercice 36 Soit a ∈ ]0, π[ et n ∈ ℕ^(). Factoriser X^2n - 2cos (na)X^n + 1 dans ℂ[X], puis dans ℝ[X].
• Exercice 37 Soit n ∈ ℕ^() et a ∈ ℝ. 1. Résoudre l'équation (z + 1)^n = e^(2 i na), d'inconnue z ∈ ℂ. 2. En déduire une factorisation du polynôme (X + 1)^n -…

Interpolation de Lagrange

• Exercice 38 Déterminer le polynôme P de degré au plus 2 tel que P(-1) = 6, P(1) = 2 et P(2) = 3, puis tous les polynômes Q ∈ ℝ[X] vérifiant ces trois conditions.
• Exercice 39 Soit z_1, …, z_s des complexes deux à deux distincts, et L_1, …, L_s les polynômes de Lagrange associés, de degré s - 1, tels que L_i(z_j) vaut 1 si…

Fractions rationnelles

• Exercice 40 1. Montrer qu'il n'existe aucune fraction rationnelle F ∈ ℂ(X) telle que F^2 = X, ni aucune telle que F^2 = 1/X. 2. Existe-t-il R ∈ ℂ(X) telle que…
• Exercice 41 Déterminer les fractions rationnelles F ∈ ℂ(X) telles que F(X + 1) = F(X). On pourra s'intéresser aux pôles de F, puis à la partie entière.
• Exercice 42 Soit p et q deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Déterminer les zéros et les pôles de la fraction (X^p - 1)/(X^q - 1), avec leurs…
• Exercice 43 1. Soit z ∈ ℂ. Pour F = P/Q ∈ ℂ(X) non nulle, on pose μ_z(F) = μ_z(P) - μ_z(Q), où μ_z(P) est la multiplicité de z dans P. Montrer que μ_z(F) ne…
• Exercice 44 Soit n ≥ 2 et ω = e^(2 iπ/n). 1. Soit P ∈ ℂ[X] tel que P(ω X) = P(X). Montrer qu'il existe Q ∈ ℂ[X] tel que P = Q(X^n). 2. Mettre sous forme…

Décomposition en éléments simples

• Exercice 45 Décomposer en éléments simples sur ℝ les fractions rationnelles suivantes, puis, pour la quatrième, sur ℂ. begin array{lll} (i) 1/((X + 1)^2(3 - X))…
• Exercice 46 Soit n ≥ 2. Décomposer en éléments simples sur ℂ les fractions rationnelles suivantes. begin array{llll} (i) 1/(X(X - 1) … (X - n)) & (ii) (X^(n -…
• Exercice 47 Soit A = X^2 + 1 et B = (X - 1)^2. Décomposer la fraction 1/AB en éléments simples sur ℝ, et en déduire une relation de Bézout entre A et B.
• Exercice 48 1. Donner un développement limité à l'ordre 7 en 0 de x ↦ (x^3 + 1)/(x^2 + 1). 2. En déduire la décomposition en éléments simples sur ℝ de (X^3 +…
• Exercice 49 1. Déterminer une primitive de x ↦ 1/(1 - x^2) sur ]-1, 1[, et de x ↦ x/(x^3 - 7x + 6) sur ]2, +∞[. 2. Calculer la dérivée n -ième de x ↦ 1/(x^2 -…
• Exercice 50 Déterminer les limites des suites de terme général (i) Σ_(k = 1)^n (k + 3)/(k^3 + 3k^2 + 2k); (ii) Σ_(k = 0)^n k/(k^4 + k^2 + 1); (iii) Σ_(k = 3)^n…
• Exercice 51 Soit n ≥ 2 et P ∈ ℂ[X] de degré n, dont les racines x_1, …, x_n sont simples et non nulles. En décomposant en éléments simples des fractions bien…
• Exercice 52 1. Montrer qu'il n'existe aucun polynôme P ∈ ℝ[X] tel que P'/P = (X^2 + 1)/(X^3 - 1). 2. Déterminer les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P'/P = 2/(X - 1)…
• Exercice 53 Polynômes de Tchebychev. 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, il existe un unique T_n ∈ ℝ[X] tel que T_n(cos θ) = cos (nθ) pour tout réel θ. On pourra…

Exercices de synthèse

• Exercice 54 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Le degré de P + Q est le plus grand des degrés de P et de Q.…
• Exercice 55 Coefficients binomiaux impairs. Pour deux polynômes A et B à coefficients entiers, on note A equiv B [2] lorsque tous les coefficients de A - B sont…
• Exercice 56 Un point du cercle loin de tous les autres. Soit n ∈ ℕ^(), Gamma un cercle du plan de centre O et de rayon R > 0, et A_1, …, A_n des points du plan,…
• Exercice 57 Méthode de Cardan. Soient P(X) = X^3 + pX + q ∈ ℂ[X] et α_1, α_2, α_3 les racines de P(X). On note j = e^(2 iπ/3). 1. Montrer qu'il existe un unique…
• Exercice 58 Soit n ∈ ℕ. On pose P_n(X) = (X + i)^(2n + 1) - (X - i)^(2n + 1). 1. Déterminer le degré de P_n(X), puis son terme dominant. 2. Factoriser P_n(X)…
• Exercice 59 Polynômes de Legendre. Soit n ∈ ℕ. 1. En considérant les polynômes [(X^2 - 1)^n ]^((k)), montrer que le polynôme L_n(X) = [(X^2 - 1)^n ]^((n)) est…
• Exercice 60 Soit P ∈ ℂ[X] unitaire de degré n ≥ 1. On note Q = X(X - 1) … (X - n). 1. Montrer P/Q = Σ_(k = 0)^n ((-1)^(n - k))/(n!) binom n{k} P(k) 1/(X - k).…
• Exercice 61 1. Soit S = A^2 + B^2 mid A, B ∈ ℝ[X]. Montrer que S est stable par produit. 2. Soit P ∈ ℝ[X]. Montrer l'équivalence P ∈ S ⇔ ∀ x ∈ ℝ, P(x) ≥ 0.
• Exercice 62 On dit qu'un polynôme est simplement scindé s'il est scindé à racines simples. Soit P ∈ ℝ[X] simplement scindé. On note a_1 < a_2 < … < a_n ses…
• Exercice 63 Remplir une boîte avec des briques. Soit a ≤ b ≤ c et A ≤ B ≤ C des entiers naturels non nuls. On appelle brique une partie de ℕ^3 de la forme […
• Exercice 64 Théorème de Mason-Stothers et équation de Fermat pour les polynômes. Pour P ∈ ℂ[X] non nul, on note r(P) le nombre de racines complexes distinctes…
• Exercice 65 Déterminer les (P, Q) ∈ ℂ[X]^2 tels que ∀ z ∈ ℂ, |P(z)| ≤ |Q(z)|.
• Exercice 66 Soit P ∈ ℝ[X] simplement scindé. Montrer que P n'a pas deux coefficients consécutifs nuls.
• Exercice 67 Soit P ∈ ℝ[X] non constant, simplement scindé. Montrer que pour tout a ∈ ℂ, les racines complexes de P - a sont de multiplicité au plus 2.
• Exercice 68 Soient P et Q deux polynômes non constants dans ℂ[X] tels que l'ensemble des racines de P(X) (resp. de P(X) - 1) soit égal à l'ensemble des racines…
• Exercice 69 Soit P ∈ ℂ[X]. Montrer que les racines de P'(X) sont des barycentres à coefficients positifs ou nuls de racines de P(X).
• Exercice 70 Soit n ∈ ℕ^() et P(X) = nX^n - X^(n - 1) - … - X - 1. Montrer qu'à part 1, les racines de P sont de module < 1, puis que P est à racines simples.
• Exercice 71 Soit P(X) ∈ ℝ[X] un polynôme n'admettant aucune racine réelle. Montrer que le polynôme Q(X) = Σ_(n = 0)^(+∞) P^((n))(X) n'admet aucune racine…
• Exercice 72 Soit F(X) une fraction rationnelle non constante dans ℂ(X). Montrer que l'ensemble image de la fonction rationnelle z ↦ F(z) est soit ℂ tout entier,…