Exercice 61

1. On a $(A^{2} + B^{2})(C^{2} + D^{2}) = (AC - BD)^{2} + (AD + BC)^{2}$, comme pour les modules de nombres complexes.

2. Un élément de $S$ est positif sur $\mathbb{R}$. Réciproquement, soit $P \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$, non nul. Son coefficient dominant $\lambda$ est positif, puisque $P(x)$ a le signe de $\lambda$ pour $x$ grand. Ses racines réelles sont de multiplicité paire : si $a$ était de multiplicité impaire, $P = (X - a)^{m}Q$ avec $Q(a) \neq 0$ changerait de signe en $a$. La décomposition du théorème 12 s'écrit donc avec des facteurs $\lambda = (\sqrt{\lambda})^{2} + 0^{2}$, $(X - a)^{2r} = \big((X - a)^{r}\big)^{2} + 0^{2}$ et $X^{2} + pX + q = \big(X + \frac{p}{2}\big)^{2} + \Big(\sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}}\Big)^{2}$, qui sont tous dans $S$. La question 1 conclut. $$\boxed{P \in S \iff \forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geqslant 0}$$