Exercice 62

1. D'une part, par la proposition 24, $\frac{P'}{P} = \sum_{k} \frac{1}{X - a_{k}}$. D'autre part, avec $P = c\prod (X - a_{k})$ et $P' = nc\prod_{j} (X - b_{j})$, la proposition 23 donne pour coefficient en $a_{i}$ $$\frac{P'(a_{i})}{c\prod_{k \neq i}(a_{i} - a_{k})} = \frac{nc\prod_{j}(a_{i} - b_{j})}{c\prod_{k \neq i}(a_{i} - a_{k})}.$$ En égalant ce coefficient à $1$ : $$\boxed{n\prod_{j = 1}^{n - 1}(a_{i} - b_{j}) = \prod_{k \neq i}(a_{i} - a_{k})}$$

2. Par le théorème de Rolle, $b_{i} \in \,]a_{i}, a_{i + 1}[$. En $b = b_{i}$, la première écriture donne $\sum_{k} \frac{1}{b - a_{k}} = 0$. Les termes $k \leqslant i$ sont positifs, les termes $k \geqslant i + 1$ négatifs. Donc $$\frac{1}{b - a_{i}} \leqslant \sum_{k \leqslant i} \frac{1}{b - a_{k}} = \sum_{k \geqslant i + 1} \frac{1}{a_{k} - b} \leqslant \frac{n - i}{a_{i + 1} - b},$$ d'où $a_{i + 1} - b \leqslant (n - i)(b - a_{i})$, soit $b - a_{i} \geqslant \frac{a_{i + 1} - a_{i}}{n - i + 1} \geqslant \frac{a_{i + 1} - a_{i}}{n}$. De même, $\frac{1}{a_{i + 1} - b} \leqslant \frac{i}{b - a_{i}}$ donne $a_{i + 1} - b \geqslant \frac{a_{i + 1} - a_{i}}{i + 1} \geqslant \frac{a_{i + 1} - a_{i}}{n}$. $$\boxed{a_{i} + \frac{a_{i + 1} - a_{i}}{n} \leqslant b_{i} \leqslant a_{i + 1} - \frac{a_{i + 1} - a_{i}}{n}}$$ La seconde question n'utilise que la première écriture de $\frac{P'}{P}$ : la racine de $P'$ ne peut pas s'approcher à moins d'un $n$-ième de la longueur de l'intervalle de ses deux voisines.