Exercice 60

1. La fraction $\frac{P}{Q}$ est de degré $-1$ et a les pôles simples $0, \dots, n$. Par la proposition 23 et l'exercice 46 (i), le coefficient en $k$ vaut $\frac{P(k)}{Q'(k)} = \frac{(-1)^{n - k}P(k)}{k!\,(n - k)!} = \frac{(-1)^{n - k}}{n!}\binom{n}{k}P(k)$.

2. Comme $P$ et $Q$ sont unitaires de degrés $n$ et $n + 1$, $x\frac{P(x)}{Q(x)} \to 1$ en $+\infty$, et cette limite est la somme des coefficients. $$\boxed{\sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k}\binom{n}{k}P(k) = n!}$$

3. Si $M = \max |P(k)|$, l'inégalité triangulaire donne $n! \leqslant M\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^{n}M$. $$\boxed{\max_{0 \leqslant k \leqslant n} |P(k)| \geqslant \frac{n!}{2^{n}}}$$ Un polynôme unitaire ne peut donc pas être petit en tous les entiers de $0$ à $n$ : par exemple, pour $n = 2$, l'un des nombres $|P(0)|$, $|P(1)|$, $|P(2)|$ dépasse $\frac{1}{2}$.