Exercice 59

1. Soit $A = (X^{2} - 1)^{n}$, de degré $2n$, avec $\pm 1$ racines de multiplicité $n$. On montre par récurrence sur $k \in [\![0\,;n]\!]$ que $A^{(k)}$ admet $\pm 1$ pour racines de multiplicité $n - k$, et au moins $k$ racines distinctes dans $]-1, 1[$. Si c'est vrai au rang $k < n$, le théorème de Rolle appliqué entre les $k + 2$ racines distinctes $-1 < c_{1} < \cdots < c_{k} < 1$ de $A^{(k)}$ fournit $k + 1$ racines distinctes de $A^{(k + 1)}$ dans $]-1, 1[$, et $\pm 1$ sont racines de multiplicité $n - k - 1$. Pour $k = n$, $L_{n} = A^{(n)}$, de degré $n$, a $n$ racines distinctes dans $]-1, 1[$ : ce sont toutes ses racines, et elles sont simples.

2. On intègre par parties $n$ fois (chapitre 6). À chaque étape, le terme entre crochets fait intervenir $A^{(j)}(\pm 1)$ avec $j < n$, qui est nul d'après la question 1 : $$\int_{-1}^{1} Q(t)L_{n}(t)\,\mathrm{d} t = -\int_{-1}^{1} Q'(t)A^{(n - 1)}(t)\,\mathrm{d} t = \cdots = (-1)^{n}\int_{-1}^{1} Q^{(n)}(t)A(t)\,\mathrm{d} t = 0,$$ puisque $Q^{(n)} = 0$ pour $\deg Q < n$.

3. Soit $x_{1}, \dots, x_{m}$ les racines de $L_{n}$ dans $]-1, 1[$ de multiplicité impaire, où $L_{n}$ change de signe. Si $m < n$, le polynôme $Q = \prod (X - x_{i})$ est de degré $m < n$, et $QL_{n}$ garde un signe constant sur $[-1, 1]$ sans être nul : son intégrale est non nulle, ce qui contredit la question 2. Donc $m \geqslant n = \deg L_{n}$, et $L_{n}$ a $n$ racines simples dans $]-1, 1[$.