Exercice 25

1. Soit $a_{1} < \cdots < a_{r}$ les racines distinctes de $P$, de multiplicités $m_{1}, \dots, m_{r}$, avec $\sum m_{i} = n$. Chaque $a_{i}$ est racine de $P'$ de multiplicité $m_{i} - 1$ (proposition 12). Le théorème de Rolle fournit en outre une racine de $P'$ dans chacun des $r - 1$ intervalles $]a_{i}, a_{i + 1}[$. On obtient ainsi au moins $\sum (m_{i} - 1) + r - 1 = n - 1 = \deg P'$ racines comptées avec multiplicité : ce sont toutes les racines de $P'$, qui est donc scindé, et les racines fournies par Rolle sont simples. Une racine multiple de $P'$ est donc l'un des $a_{i}$. $$\boxed{P' \text{ est scindé sur } \mathbb{R}, \text{ et ses racines multiples sont racines de } P}$$

2. Si tous les $m_{i}$ valent $1$, les $n - 1$ racines de Rolle sont toutes les racines de $P'$, et elles sont simples. Si $z$ était racine multiple de $P^{2} + 1$, alors $2P(z)P'(z) = 0$ avec $P(z) = \pm\mathrm{i} \neq 0$, donc $P'(z) = 0$ ; mais les racines de $P'$ sont réelles, et $P(z)$ serait réel, ce qui contredit $P(z)^{2} = -1$. $$\boxed{P' \text{ est simplement scindé, et } P^{2} + 1 \text{ n'a que des racines simples}}$$

3. Non : $X^{3} - 1$ a trois racines simples dans $\mathbb{C}$, mais sa dérivée $3X^{2}$ a la racine double $0$. Le théorème de Rolle n'a pas d'analogue sur $\mathbb{C}$.