Exercice 26

1. Si $P = P'S$ et $P'(a) = 0$, alors $P(a) = 0$. Remarquons que $P$ n'est pas constant : sinon $P' = 0$ ne divise pas $P \neq 0$.

2. Soit $n = \deg P \geqslant 1$. Comme $\deg P' = n - 1$, le quotient $S$ est de degré $1$. Si $a$ est racine de $P$ de multiplicité $m \geqslant 1$, elle est racine de $P'$ de multiplicité $m - 1$, et l'égalité $P = P'S$ impose que $a$ soit racine de $S$, pour retrouver la multiplicité $m$. Comme $S$ est de degré $1$, il n'a qu'une racine : $P$ n'a qu'une seule racine.

3. D'après le théorème 11, $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$, avec une seule racine $a$ : $P = \lambda(X - a)^{n}$. Réciproquement, $P' = n\lambda(X - a)^{n - 1}$ divise $P$. $$\boxed{P = \lambda(X - a)^{n}, \quad \lambda \in \mathbb{C}^{*}, \ a \in \mathbb{C}, \ n \geqslant 1}$$