Exercice 27

1. Soit $a_{1} < \cdots < a_{n}$ les racines de $Q$, et $f(x) = \mathrm{e}^{ax}Q(x)$, de dérivée $f'(x) = \mathrm{e}^{ax}(Q' + aQ)(x)$. Le théorème de Rolle donne une racine de $Q' + aQ$ dans chaque $]a_{i}, a_{i + 1}[$, soit $n - 1$ racines distinctes. Si $a = 0$, c'est fini, car $\deg Q' = n - 1$. Si $a > 0$, alors $f(x) \to 0$ en $-\infty$ par croissances comparées, et $f(a_{1}) = 0$ ; la fonction $f$, non identiquement nulle sur $]-\infty, a_{1}[$, y atteint un extremum, où $f'$ s'annule : on obtient une $n$-ième racine, distincte des autres. Si $a < 0$, on raisonne de même sur $]a_{n}, +\infty[$. Dans ces deux cas, $Q' + aQ$ est de degré $n$ et a $n$ racines réelles distinctes. $$\boxed{Q' + aQ \text{ est simplement scindé sur } \mathbb{R}}$$

2. Si $Q$ a les racines distinctes $a_{1} < \cdots < a_{r}$, de multiplicités $m_{i}$, alors $a_{i}$ est racine de $Q' + aQ$ de multiplicité exactement $m_{i} - 1$, car $(X - a_{i})^{m_{i} - 1}$ divise $Q'$ et $Q$, et le quotient ne s'annule pas en $a_{i}$. Rolle donne $r - 1$ racines dans les intervalles, et une de plus à l'infini si $a \neq 0$, comme en 1. Au total, $\sum(m_{i} - 1) + (r - 1) + 1 = n = \deg(Q' + aQ)$ racines comptées avec multiplicité.

3. Non. Pour $Q = X^{2} - 1$ et $a = \mathrm{i}$, on obtient $Q' + aQ = \mathrm{i} X^{2} + 2X - \mathrm{i} = \mathrm{i}(X - \mathrm{i})^{2}$, qui a une racine double.