Exercice 28

1. Avec $A = X^{4} + X^{3} - 3X^{2} - 4X - 4$ et $B = X^{4} + X^{3} - X^{2} - 2X - 2$, la première division donne $A = B \times 1 - 2(X^{2} + X + 1)$, puis $B = (X^{2} + X + 1)(X^{2} - 2)$, de reste nul. $$\boxed{A \wedge B = X^{2} + X + 1}$$

2. Le seul facteur irréductible unitaire de $(X - 1)^{n}$ est $X - 1$, et $X^{n} - 1$ en est divisible exactement une fois, puisque ses racines sont simples (proposition 17). $$\boxed{(X^{n} - 1) \wedge (X - 1)^{n} = X - 1}$$