Exercice 29

On factorise : $A = (X + 1)(X - 2)(X^{2} + 1)$ et $B = (X + 1)(X - 3)(X + 2)$, donc $A \wedge B = X + 1$. On note $A_{1} = \frac{A}{X + 1} = X^{3} - 2X^{2} + X - 2$ et $B_{1} = \frac{B}{X + 1} = X^{2} - X - 6$, premiers entre eux.

(i) $A \wedge B = X + 1$ divise $AU + BV$, mais pas $1$. $$\boxed{\text{aucune solution}}$$

(ii) En divisant par $X + 1$, l'équation équivaut à $A_{1}U + B_{1}V = X + 3$. L'algorithme d'Euclide donne $A_{1} = (X - 1)B_{1} + (6X - 8)$ et $B_{1} = \big(\frac{X}{6} + \frac{1}{18}\big)(6X - 8) - \frac{50}{9}$, et la remontée fournit la solution particulière $$U_{0} = \frac{13X + 21}{100}, \qquad V_{0} = -\frac{13X^{2} + 8X + 57}{100}.$$ Si $(U, V)$ est solution, $A_{1}(U - U_{0}) = -B_{1}(V - V_{0})$, et le lemme de Gauss donne $B_{1} \mid U - U_{0}$. $$\boxed{U = \frac{13X + 21}{100} + (X^{2} - X - 6)C, \qquad C \in \mathbb{R}[X]}$$

(iii) Les deux trinômes ont des discriminants $-8$ et $13$, et aucune racine commune : ils sont premiers entre eux. Le lemme de Gauss donne $X^{2} - X - 3 \mid U$. $$\boxed{U = (X^{2} - X - 3)C, \qquad V = -(X^{2} + 2X + 3)C, \quad C \in \mathbb{R}[X]}$$

(iv) La relation de Bézout $4X^{2} + (1 - 2X)(2X + 1) = 1$, multipliée par $X + 2$, donne une solution particulière, et l'on conclut comme en (iii). $$\boxed{U = 4(X + 2) + (2X + 1)C, \qquad V = (1 - 2X)(X + 2) - X^{2}C, \quad C \in \mathbb{R}[X]}$$