Exercice 30

1. Si $n = qm + r$, alors $X^{n} - 1 = X^{r}(X^{qm} - 1) + (X^{r} - 1)$, et $X^{m} - 1$ divise $X^{qm} - 1$ : le reste de $P_{n}$ par $P_{m}$ est $P_{r}$. Comme à l'exercice 55 de la feuille 12, l'algorithme d'Euclide sur $(P_{n}, P_{m})$ suit celui sur $(n, m)$, et s'arrête sur $(P_{d}, P_{0}) = (P_{d}, 0)$ avec $d = n \wedge m$. $$\boxed{P_{n} \wedge P_{m} = X^{n \wedge m} - 1}$$

2. Si $a \mid b$, alors $P_{a} \mid P_{b}$. Réciproquement, si $P_{a} \mid P_{b}$, alors $P_{a} = P_{a} \wedge P_{b} = P_{a \wedge b}$, donc $a = a \wedge b$ par les degrés, et $a \mid b$.

3. Les racines de $(X^{p} - 1)(X^{q} - 1)$ sont : $1$, double ; les racines $p$-ièmes et $q$-ièmes de l'unité différentes de $1$, simples, et distinctes entre elles puisque $P_{p} \wedge P_{q} = X - 1$. Ce sont des racines $pq$-ièmes de l'unité, donc des racines simples de $X^{pq} - 1$, et $1$ est racine double de $(X - 1)(X^{pq} - 1)$. La proposition 16 (i) conclut. $$\boxed{(X^{p} - 1)(X^{q} - 1) \mid (X - 1)(X^{pq} - 1)}$$