Exercice 31

Si $D$ est un diviseur commun non constant, $A = DA_{1}$ et $B = DB_{1}$, et $P = B_{1}$, $Q = A_{1}$ conviennent : $AB_{1} = DA_{1}B_{1} = BA_{1}$, avec $\deg B_{1} < \deg B$ et $\deg A_{1} < \deg A$. Réciproquement, si $AP = BQ$ et si $A \wedge B = 1$, le lemme de Gauss donne $B \mid P$, ce qui est impossible puisque $P \neq 0$ et $\deg P < \deg B$. $$\boxed{\text{diviseur commun non constant} \iff \exists P, Q \text{ non nuls}, \ AP = BQ, \ \deg P < \deg B, \ \deg Q < \deg A}$$