Exercice 32

1. Existence. Les polynômes $(1 - X)^{p}$ et $X^{p}$ n'ont pas de racine commune : ils sont premiers entre eux, et le théorème 8 donne $U_{0}$, $V_{0}$. On divise $U_{0} = X^{p}S + U$ avec $\deg U < p$ : alors $$(1 - X)^{p}U + X^{p}\big(V_{0} + (1 - X)^{p}S\big) = 1.$$ Unicité. Si $(U, V)$ et $(U', V')$ conviennent, $(1 - X)^{p}(U - U') = X^{p}(V' - V)$, donc $X^{p} \mid U - U'$ par le lemme de Gauss, et $\deg(U - U') < p$ donne $U = U'$, puis $V = V'$.

2. On a $X^{p}V = 1 - (1 - X)^{p}U$, de degré au plus $2p - 1$, donc $\deg V \leqslant p - 1$. En substituant $1 - X$ à $X$, on obtient $X^{p}U(1 - X) + (1 - X)^{p}V(1 - X) = 1$ : le couple $\big(V(1 - X), U(1 - X)\big)$ convient, avec $\deg V(1 - X) < p$. Par unicité, $U = V(1 - X)$. $$\boxed{V(X) = U(1 - X)}$$

3. En dérivant l'égalité de la question 1 et en regroupant : $$(1 - X)^{p - 1}\big((1 - X)U' - pU\big) = -X^{p - 1}(pV + XV').$$ Donc $X^{p - 1}$ divise $(1 - X)^{p - 1}\big((1 - X)U' - pU\big)$, et, par le lemme de Gauss, il divise $(1 - X)U' - pU$, qui est de degré au plus $p - 1$ : ce polynôme vaut $aX^{p - 1}$. Avec $U = \sum_{k = 0}^{p - 1} u_{k}X^{k}$, le coefficient de $X^{k}$ pour $k \leqslant p - 2$ donne $(k + 1)u_{k + 1} - (k + p)u_{k} = 0$, et $u_{0} = U(0) = 1$ en évaluant la relation de la question 1 en $0$. $$\boxed{U = \sum_{k = 0}^{p - 1} \binom{p - 1 + k}{k} X^{k}}$$ Vérification pour $p = 2$ : $U = 1 + 2X$, $V = 3 - 2X$, et $(1 - X)^{2}(1 + 2X) + X^{2}(3 - 2X) = 1$. ✓