Exercice 33

1. Une racine multiple de $P$ est une racine commune à $P$ et $P'$ (proposition 12), et réciproquement. Par la proposition 16 (ii), $P$ et $P'$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont pas de racine commune.

2. On applique la méthode de la section 13.7 : factorisation sur $\mathbb{C}$, puis regroupement des racines conjuguées.

(i) $X^{4} - 4 = (X^{2} - 2)(X^{2} + 2)$. $$\boxed{\mathbb{C} : (X - \sqrt{2})(X + \sqrt{2})(X - \mathrm{i}\sqrt{2})(X + \mathrm{i}\sqrt{2}) ; \qquad \mathbb{R} : (X - \sqrt{2})(X + \sqrt{2})(X^{2} + 2)}$$

(ii) Les racines de $X^{6} = -27 = 27\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$ sont les $\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2k + 1)\pi/6}$, $0 \leqslant k \leqslant 5$, soit $\pm \mathrm{i}\sqrt{3}$ et $\pm\frac{3}{2} \pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$. En regroupant les conjuguées, $X^{2} - 2\operatorname{Re}(z)X + |z|^{2}$ avec $|z|^{2} = 3$ : $$\boxed{\mathbb{R} : (X^{2} + 3)(X^{2} - 3X + 3)(X^{2} + 3X + 3)}$$

(iii) $(X^{2} - X + 1)^{2} + 1 = (X^{2} - X + 1 - \mathrm{i})(X^{2} - X + 1 + \mathrm{i})$, et les racines de ces deux trinômes sont $\mathrm{i}$, $1 - \mathrm{i}$ pour le premier, $-\mathrm{i}$, $1 + \mathrm{i}$ pour le second. $$\boxed{\mathbb{C} : (X - \mathrm{i})(X + \mathrm{i})(X - 1 - \mathrm{i})(X - 1 + \mathrm{i}) ; \qquad \mathbb{R} : (X^{2} + 1)(X^{2} - 2X + 2)}$$

(iv) Les racines sont les huit racines huitièmes de l'unité $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\pi/4}$. $$\boxed{\mathbb{R} : (X - 1)(X + 1)(X^{2} + 1)(X^{2} - \sqrt{2}X + 1)(X^{2} + \sqrt{2}X + 1)}$$