Exercice 34

(i) On a $P = (X^{2} - 3X)^{2} + 9 = (X^{2} - 3X + 3\mathrm{i})(X^{2} - 3X - 3\mathrm{i})$ sur $\mathbb{C}$. Pour obtenir directement la factorisation réelle, on fait apparaître une différence de deux carrés : pour tout réel $t$, $$P = (X^{2} - 3X + t)^{2} - \big(2tX^{2} - 6tX + t^{2} - 9\big),$$ et le trinôme entre parenthèses est le triple d'un carré pour $t = 6$ : $12X^{2} - 36X + 27 = 3(2X - 3)^{2}$. Ainsi $$\boxed{P = \big(X^{2} - (3 + 2\sqrt{3})X + 6 + 3\sqrt{3}\big)\big(X^{2} - (3 - 2\sqrt{3})X + 6 - 3\sqrt{3}\big)}$$ Les deux trinômes ont pour discriminant $-3$ : ils sont irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$.

(ii) Avec $Y = X^{3}$, $Y^{3} + Y^{2} + Y + 1 = (Y + 1)(Y^{2} + 1)$, donc $P = (X^{3} + 1)(X^{6} + 1)$. Puis $X^{3} + 1 = (X + 1)(X^{2} - X + 1)$ et $X^{6} + 1 = (X^{2} + 1)(X^{4} - X^{2} + 1)$, avec $X^{4} - X^{2} + 1 = (X^{2} + 1)^{2} - 3X^{2}$. $$\boxed{P = (X + 1)(X^{2} - X + 1)(X^{2} + 1)(X^{2} - \sqrt{3}X + 1)(X^{2} + \sqrt{3}X + 1)}$$

(iii) Les racines de $X^{10} + X^{5} + 1 = \frac{X^{15} - 1}{X^{5} - 1}$ sont les racines quinzièmes de l'unité qui ne sont pas racines cinquièmes, soit les $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/15}$ avec $k \in [\![1\,;14]\!]$ non multiple de $3$, toutes simples. On les regroupe par paires $k$, $15 - k$, avec $k \in \{1, 2, 4, 5, 7\}$ ; pour $k = 5$, on obtient $X^{2} + X + 1$. $$\boxed{X^{10} + X^{5} + 1 = (X^{2} + X + 1)\prod_{k \in \{1, 2, 4, 7\}} \Big(X^{2} - 2\cos\frac{2k\pi}{15}\,X + 1\Big)}$$

(iv) On a $P(1) = 0$, et l'on vérifie que $P'(1) = P''(1) = 0$ et $P'''(1) = 6 \times (-5) \neq 0$ : $1$ est racine triple. La division par $(X - 1)^{3}$ donne $X^{2} - 7X + 1$, de racines $\frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. $$\boxed{P = (X - 1)^{3}\Big(X - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\Big)\Big(X - \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\Big)}$$