Exercice 35

1. Le complexe $w = \frac{1 - z^{2}}{2z}$ vérifie $w^{3} = -1$, donc $w = -\omega$ avec $\omega \in \{1, j, j^{2}\}$, c'est-à-dire $z^{2} - 2\omega z - 1 = 0$, de discriminant réduit $\omega^{2} + 1$. Pour $\omega = 1$, on obtient $z = 1 \pm \sqrt{2}$. Pour $\omega = j$, $\omega^{2} + 1 = -j = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}$, de racine carrée $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}$, d'où $z = j \pm \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}$ ; et pour $\omega = j^{2}$, les conjugués. $$\boxed{z \in \Big\{1 \pm \sqrt{2}, \ \frac{\sqrt{3} - 1}{2}(1 \pm \mathrm{i}), \ -\frac{\sqrt{3} + 1}{2}(1 \mp \mathrm{i})\Big\}}$$

2. Comme $P(0) = 1$, les racines de $P$ sont exactement ces six complexes, et $P$ a pour coefficient dominant $-1$. En regroupant les conjuguées : $$\boxed{P = -(X^{2} - 2X - 1)\big(X^{2} + (1 - \sqrt{3})X + 2 - \sqrt{3}\big)\big(X^{2} + (1 + \sqrt{3})X + 2 + \sqrt{3}\big)}$$