Exercice 36

Le polynôme s'écrit $(X^{n} - \mathrm{e}^{\mathrm{i} na})(X^{n} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} na})$. Les racines de $X^{n} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} na}$ sont les $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a + 2k\pi/n)}$, $0 \leqslant k \leqslant n - 1$, et celles de $X^{n} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} na}$ leurs conjuguées ; elles sont $2n$ et distinctes, puisque $\mathrm{e}^{\mathrm{i} na} \neq \mathrm{e}^{-\mathrm{i} na}$ pour $a \in \,]0, \pi[$ sauf si $na \in \pi\mathbb{Z}$, cas où les deux familles coïncident et la factorisation reste valable avec des racines doubles. $$\boxed{\mathbb{C} : \prod_{k = 0}^{n - 1} \big(X - \mathrm{e}^{\mathrm{i}(a + 2k\pi/n)}\big)\big(X - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(a + 2k\pi/n)}\big) ; \qquad \mathbb{R} : \prod_{k = 0}^{n - 1} \Big(X^{2} - 2\cos\Big(a + \frac{2k\pi}{n}\Big)X + 1\Big)}$$ Un facteur réel est irréductible sauf si $a + \frac{2k\pi}{n} \in \pi\mathbb{Z}$, auquel cas il vaut $(X \mp 1)^{2}$.