Exercice 37

1. On a $z + 1 = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}(a + k\pi/n)}$, $0 \leqslant k \leqslant n - 1$, d'où $$z_{k} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta_{k}} - 1 = 2\mathrm{i}\sin\theta_{k}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{k}}, \qquad \theta_{k} = a + \frac{k\pi}{n}.$$

2. Ces $n$ racines sont distinctes, et le polynôme est unitaire de degré $n$ : $$(X + 1)^{n} - \mathrm{e}^{2\mathrm{i} na} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (X - z_{k}).$$

3. En évaluant en $0$, on obtient $$1 - \mathrm{e}^{2\mathrm{i} na} = (-1)^{n}\prod_{k} z_{k},$$ dont le membre de gauche vaut $-2\mathrm{i}\sin(na)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} na}$. Comme $\sum \theta_{k} = na + \frac{(n - 1)\pi}{2}$, le membre de droite vaut $$(-2\mathrm{i})^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i} na}\mathrm{i}^{n - 1}\prod_{k}\sin\theta_{k} = -2^{n}\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} na}\prod_{k}\sin\theta_{k},$$ puisque $(-\mathrm{i})^{n}\mathrm{i}^{n - 1} = (-1)^{n}\mathrm{i}^{2n - 1} = -\mathrm{i}$. $$\boxed{\prod_{k = 0}^{n - 1} \sin\Big(a + \frac{k\pi}{n}\Big) = \frac{\sin(na)}{2^{n - 1}}}$$ Pour $n = 2$, on retrouve $\sin a \cos a = \frac{\sin 2a}{2}$. ✓