Exercice 24

1. On a $P_{n}' = P_{n - 1}$, donc $P_{n} - P_{n}' = \frac{X^{n}}{n!}$. Si $z$ était racine multiple, on aurait $P_{n}(z) = P_{n}'(z) = 0$, donc $z^{n} = 0$, soit $z = 0$ ; or $P_{n}(0) = 1$. $$\boxed{P_{n} \text{ n'a que des racines simples}}$$

2. On montre par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ que $P_{n} > 0$ sur $\mathbb{R}$ si $n$ est pair, et que $P_{n}$ s'annule exactement une fois si $n$ est impair. Pour $n = 0$, $P_{0} = 1$. Si $n$ est impair, $P_{n}' = P_{n - 1} > 0$ : la fonction est strictement croissante, de limites $-\infty$ et $+\infty$, donc s'annule une seule fois. Si $n \geqslant 2$ est pair, $P_{n}' = P_{n - 1}$ s'annule en un seul point $c$, en changeant de signe de $-$ à $+$ : $P_{n}$ atteint son minimum en $c$, et ce minimum vaut $$P_{n}(c) = P_{n}(c) - P_{n}'(c) = \frac{c^{n}}{n!} > 0,$$ puisque $c \neq 0$ et $n$ est pair. $$\boxed{P_{n} \text{ a } 0 \text{ racine réelle si } n \text{ est pair, et } 1 \text{ si } n \text{ est impair}}$$