Exercice 23

Le polynôme nul convient, et une constante non nulle ne convient pas. Si $\deg P = n \geqslant 1$, les degrés donnent $n = (n - 1) + (n - 2)$, soit $n = 3$, et le coefficient dominant $a$ vérifie $a = 3a \times 6a$, donc $a = \frac{1}{18}$. Soit $\alpha$ la racine de $P''$, de degré $1$. L'égalité $P = P'P''$ donne $P(\alpha) = 0$. En dérivant, $P' = P''^{2} + P'P'''$, avec $P''' = 6a = \frac{1}{3}$ ; en $\alpha$, $P'(\alpha) = \frac{1}{3}P'(\alpha)$, donc $P'(\alpha) = 0$. Ainsi $\alpha$ est racine triple de $P$, et $P = \frac{1}{18}(X - \alpha)^{3}$. Réciproquement, $P' = \frac{(X - \alpha)^{2}}{6}$ et $P'' = \frac{X - \alpha}{3}$ conviennent. $$\boxed{P = 0 \quad\text{ou}\quad P = \frac{(X - \alpha)^{3}}{18}, \ \alpha \in \mathbb{R}}$$