Exercice 22

1. On a $P(1) = 0$, puis $$P' = (2n + 1)\big(X^{2n} - (n + 1)X^{n} + nX^{n - 1}\big), \qquad P'' = (2n + 1)n\big(2X^{2n - 1} - (n + 1)X^{n - 1} + (n - 1)X^{n - 2}\big),$$ qui s'annulent en $1$, et $P'''(1) = (2n + 1)n\big(2(2n - 1) - (n + 1)(n - 1) + (n - 1)(n - 2)\big) = (2n + 1)n(n + 1) \neq 0$. Par la proposition 12 : $$\boxed{1 \text{ est racine triple de } P}$$

2. Avec $Q = aX^{n + 1} + bX^{n} + 1$, il faut $Q(1) = a + b + 1 = 0$ et $Q'(1) = (n + 1)a + nb = 0$. $$\boxed{a = n, \quad b = -(n + 1)}$$

3. Par le binôme : $(X + 1)^{n} - nX - 1 = \sum_{k = 2}^{n} \binom{n}{k}X^{k}$, qui est multiple de $X^{2}$. Par les dérivées : $Q = (X + 1)^{n} - nX - 1$ vérifie $Q(0) = 0$ et $Q'(0) = n - n = 0$, donc $0$ est racine au moins double.

4. Les racines de $(X^{2} + X + 1)^{2}$ sont $j$ et $\overline{j}$, doubles. Soit $f = (X + 1)^{n} - X^{n} - 1$, à coefficients réels : il suffit, par la proposition 18, que $j$ soit racine au moins double. Comme $j + 1 = -j^{2}$, $$f'(j) = n\big((-j^{2})^{n - 1} - j^{n - 1}\big) = nj^{n - 1}\big((-j)^{n - 1} - 1\big),$$ qui est nul si et seulement si $(-j)^{n - 1} = 1$. Or $-j = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}$ est une racine primitive sixième de l'unité, donc $f'(j) = 0$ équivaut à $n \equiv 1 \;[6]$. Dans ce cas, $f(j) = -j^{2n} - j^{n} - 1 = -j^{2} - j - 1 = 0$. $$\boxed{(X^{2} + X + 1)^{2} \mid (X + 1)^{n} - X^{n} - 1 \iff n \equiv 1 \;[6]}$$