Exercice 21

(i) On cherche le reste sous la forme $R = c_{0} + c_{1}(X - 1) + c_{2}(X - 1)^{2} + c_{3}(X - 1)^{3}$. Comme $1$ est racine triple de $Q$, les valeurs de $R$, $R'$, $R''$ en $1$ sont celles de $X^{100}$ : $c_{0} = 1$, $c_{1} = 100$, $c_{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$. Enfin $R(-1) = (-1)^{100} = 1$ donne $1 - 200 + 4 \times 4950 - 8c_{3} = 1$, soit $c_{3} = 2450$. $$\boxed{R = 1 + 100(X - 1) + 4950(X - 1)^{2} + 2450(X - 1)^{3} = 2450X^{3} - 2400X^{2} - 2450X + 2401}$$

(ii) On pose $Y = X^{2} + 1$, de sorte que $X^{2n} = (Y - 1)^{n}$. La formule du binôme donne, avec $S$ un polynôme, $$(Y - 1)^{n} = (-1)^{n} + n(-1)^{n - 1}Y + Y^{2}S,$$ et les deux premiers termes forment un polynôme de degré au plus $2 < 4$. $$\boxed{R = (-1)^{n + 1}\big(nX^{2} + n - 1\big)}$$

(iii) Le reste $R = \alpha X + \beta$ vérifie $R(j) = P(j)$ et $R(\overline{j}) = P(\overline{j}) = \overline{P(j)}$, puisque $P$ est réel. Comme $j + 1 = -j^{2}$, on a $P(j) = -j^{4n + 2} - j^{2n + 1}$, qui vaut $1$ si $n \equiv 0$ ou $2 \;[3]$, et $-2$ si $n \equiv 1 \;[3]$. Cette valeur est réelle, donc $\alpha(j - \overline{j}) = 0$ et $R$ est constant. $$\boxed{R = -2 \text{ si } n \equiv 1 \;[3], \qquad R = 1 \text{ sinon}}$$