ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Dérivation

Exercice 20

Calcul

Soit $a \neq b$ deux réels et $P \in \mathbb{R}[X]$ .

1. Exprimer à l'aide de $P(a)$ et $P(b)$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a)(X - b)$ .

2. Exprimer à l'aide de $P(a)$ et $P'(a)$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a)^{2}$ .

3. Soit $n \geqslant 2$ . Calculer le reste de la division euclidienne de $X^{n} + 2X - 2$ par $(X - 1)^{2}$ .

Corrigé

1. Le reste $R = \alpha X + \beta$ vérifie $R(a) = P(a)$ et $R(b) = P(b)$ , en évaluant $P = (X - a)(X - b)Q + R$ . On résout ce système de deux équations : $\boxed{R = \frac{P(a) - P(b)}{a - b}\,X + \frac{aP(b) - bP(a)}{a - b}}$

2. De $P = (X - a)^{2}Q + R$ on tire $P(a) = R(a)$ et, en dérivant, $P'(a) = R'(a)$ , puisque $\big((X - a)^{2}Q\big)'$ s'annule en $a$ . $\boxed{R = P(a) + P'(a)(X - a)}$

3. Pour $P = X^{n} + 2X - 2$ , on a $P(1) = 1$ et $P'(1) = n + 2$ . $\boxed{R = (n + 2)X - (n + 1)}$ Vérification pour $n = 2$ : $X^{2} + 2X - 2 = (X - 1)^{2} + 4X - 3$ . ✓

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Dans l'édifice

Dérivée formelle et racines multiples Division euclidienne des polynômes

Thèmes

dérivation, division euclidienne, polynôme dérivé

Notions

dérivée formelle