ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Dérivation

Exercice 19

Calcul

Déterminer tous les polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P(2) = 1$ , $P'(2) = 2$ , $P''(2) = 4$ et $P^{(k)}(2) = 0$ pour tout $k \geqslant 3$ .

Corrigé

Par la formule de Taylor (théorème 6), un tel polynôme est de degré au plus $2$ et s'écrit $P = P(2) + P'(2)(X - 2) + \frac{P''(2)}{2}(X - 2)^{2} = 1 + 2(X - 2) + 2(X - 2)^{2}.$ Réciproquement, ce polynôme convient. $\boxed{P = 2X^{2} - 6X + 5}$

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Dans l'édifice

Dérivée formelle et racines multiples

Thèmes

dérivation, polynôme dérivé

Notions

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