Exercice 18

Le polynôme nul convient. Sinon, soit $a$ le coefficient dominant et $n$ le degré de $P$. Le coefficient de $X^{2n}$ donne $a = a^{2}$, donc $a = 1$.

Racines. Si $\lambda$ est racine, l'évaluation en $\lambda$ donne $P(\lambda^{2}) = 0$, et l'évaluation en $\lambda - 1$ donne $P\big((\lambda - 1)^{2}\big) = P(\lambda - 1)P(\lambda) = 0$. Par récurrence, tous les $\lambda^{2^{k}}$ sont racines ; comme $P$ n'a qu'un nombre fini de racines, ils ne peuvent être deux à deux distincts, ce qui impose $|\lambda| \in \{0, 1\}$, puisque sinon les modules $|\lambda|^{2^{k}}$ seraient strictement monotones. De même, la racine $(\lambda - 1)^{2}$ impose $|\lambda - 1|^{2} \in \{0, 1\}$.

Conclusion sur les racines. Si $\lambda \notin \{0, 1\}$, on aurait $|\lambda| = |\lambda - 1| = 1$, donc $\lambda = \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}\pi/3}$. Mais alors $\lambda^{2} = \mathrm{e}^{\pm 2\mathrm{i}\pi/3}$ serait racine, avec $|\lambda^{2} - 1| = \sqrt{3} \notin \{0, 1\}$ : contradiction. Les seules racines possibles sont $0$ et $1$, et $P = X^{a}(X - 1)^{b}$ avec $a, b \in \mathbb{N}$.

Exposants. On a $P(X^{2}) = X^{2a}(X - 1)^{b}(X + 1)^{b}$ et $P(X)P(X + 1) = X^{a + b}(X - 1)^{b}(X + 1)^{a}$. L'unicité de la décomposition (théorème 10) donne $2a = a + b$ et $b = a$. $$\boxed{P = 0 \quad\text{ou}\quad P = (X^{2} - X)^{n}, \ n \in \mathbb{N}}$$ Vérification : $(X^{4} - X^{2})^{n} = X^{2n}(X^{2} - 1)^{n} = (X^{2} - X)^{n}\big((X + 1)^{2} - (X + 1)\big)^{n}$. ✓