Exercice 17

1. $P(0) = 1 \neq 0$.

2. On écrit $P = a_{n}X^{n} + \cdots + a_{3}X^{3} + X^{2} + X + 1$. Le polynôme $$\widetilde{P} = X^{n}P\Big(\frac{1}{X}\Big) = X^{n} + X^{n - 1} + X^{n - 2} + a_{3}X^{n - 3} + \cdots + a_{n}$$ a pour racines les $\frac{1}{\xi_{k}}$, avec les mêmes multiplicités, puisque $\widetilde{P}(z) = z^{n}P\big(\frac{1}{z}\big)$ pour $z \neq 0$ et que $\widetilde{P}(0) = a_{n} \neq 0$. Les relations du théorème 4 appliquées à $\widetilde{P}$, unitaire, donnent : $$\boxed{\Sigma_{1} = -1 \qquad\text{et}\qquad \Sigma_{2} = 1}$$

3. $\sum \frac{1}{\xi_{k}^{2}} = \Sigma_{1}^{2} - 2\Sigma_{2} = \boxed{-1}$. Si $P$ était scindé sur $\mathbb{R}$, les $\xi_{k}$ seraient réels et cette somme de carrés de réels serait positive. $$\boxed{P \text{ n'est pas scindé sur } \mathbb{R}}$$ À retenir. Le polynôme réciproque $X^{n}P\big(\frac{1}{X}\big)$ échange le rôle des coefficients extrêmes : c'est l'outil naturel pour les sommes d'inverses de racines.