Exercice 16

(i) Si $x_{3} = x_{1} + x_{2}$, alors $2x_{3} = x_{1} + x_{2} + x_{3} = 8$, donc $x_{3} = 4$ ; on vérifie que $64 - 128 + 92 - 28 = 0$. La division par $X - 4$ donne $X^{2} - 4X + 7$, de racines $2 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}$. $$\boxed{X^{3} - 8X^{2} + 23X - 28 = (X - 4)(X - 2 - \mathrm{i}\sqrt{3})(X - 2 + \mathrm{i}\sqrt{3})}$$

(ii) Les deux racines de somme $2$ sont celles d'un facteur $X^{2} - 2X + p$, et les deux autres, de somme $-2$ par le théorème 4, celles d'un facteur $X^{2} + 2X + q$. En développant $(X^{2} - 2X + p)(X^{2} + 2X + q)$ et en identifiant : $p + q = 4$, $2p - 2q = 12$ et $pq = -5$, d'où $p = 5$ et $q = -1$. $$\boxed{X^{4} + 12X - 5 = (X - 1 - 2\mathrm{i})(X - 1 + 2\mathrm{i})(X + 1 - \sqrt{2})(X + 1 + \sqrt{2})}$$