Exercice 15

1. En développant $\sigma_{1}^{2}$ et $\sigma_{1}\sigma_{2}$ : $$\boxed{x^{2} + y^{2} + z^{2} = \sigma_{1}^{2} - 2\sigma_{2}, \qquad x^{3} + y^{3} + z^{3} = \sigma_{1}^{3} - 3\sigma_{1}\sigma_{2} + 3\sigma_{3}}$$

2. Dans chaque cas, on calcule $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ : d'après le théorème 4, $x$, $y$, $z$ sont alors les racines de $T^{3} - \sigma_{1}T^{2} + \sigma_{2}T - \sigma_{3}$, et réciproquement.

Premier système. On a $\sigma_{1} = 1$ et $\sigma_{3} = -4$, et la deuxième équation s'écrit $\sigma_{2} = \sigma_{3}$, donc $\sigma_{2} = -4$. Le polynôme vaut $T^{3} - T^{2} - 4T + 4 = (T - 1)(T - 2)(T + 2)$.

Second système. $\sigma_{1} = 2$, $\sigma_{2} = \frac{4 - 14}{2} = -5$, puis $20 = 8 + 30 + 3\sigma_{3}$, donc $\sigma_{3} = -6$. Le polynôme $T^{3} - 2T^{2} - 5T + 6 = (T - 1)(T + 2)(T - 3)$. $$\boxed{(x, y, z) \text{ est une permutation de } (1, 2, -2), \text{ ou de } (1, -2, 3)}$$ Chaque système a donc six solutions.