Exercice 14

Les éléments de $\mathbb{U}_{n}$ sont les $n$ racines, simples, de $X^{n} - 1$. Le théorème 4 donne $\sigma_{1} = 0$ si $n \geqslant 2$, $\sigma_{2} = 0$ si $n \geqslant 3$, et $\sigma_{n} = (-1)^{n} \times (-1) = (-1)^{n + 1}$. Enfin $\sum \omega^{2} = \sigma_{1}^{2} - 2\sigma_{2}$. $$\boxed{\sum_{\omega \in \mathbb{U}_{n}} \omega = 0 \ (n \geqslant 2), \qquad \prod_{\omega \in \mathbb{U}_{n}} \omega = (-1)^{n + 1}, \qquad \sum_{\omega \in \mathbb{U}_{n}} \omega^{2} = 0 \ (n \geqslant 3)}$$ Les cas exclus se traitent à la main : $\sum_{\mathbb{U}_{1}} \omega = 1$, $\sum_{\mathbb{U}_{1}} \omega^{2} = 1$ et $\sum_{\mathbb{U}_{2}} \omega^{2} = 1 + 1 = 2$. Le produit se retrouve aussi par $\prod_{k} \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/n} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi(n - 1)} = (-1)^{n - 1}$.