ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Fonctions polynomiales et racines

Exercice 13

Démonstration

1. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ de degré $3$ , possédant au moins deux racines dans $\mathbb{K}$ , comptées avec leur multiplicité. Montrer que $P$ est scindé sur $\mathbb{K}$ .

2. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \geqslant 2$ . Montrer que la moyenne des racines de $P'$ est égale à celle des racines de $P$ , les racines étant comptées avec leur multiplicité.

Corrigé

1. Si $a$ et $b$ sont deux racines, comptées avec multiplicité, $(X - a)(X - b)$ divise $P$ (proposition 8, ou proposition 10 si $a = b$ ) : $P = (X - a)(X - b)Q$ avec $\deg Q = 1$ , et $Q$ a une racine dans $\mathbb{K}$ . $\boxed{P \text{ est scindé sur } \mathbb{K}}$

2. Si $P = a_{n}X^{n} + a_{n - 1}X^{n - 1} + \cdots$ , alors $P' = na_{n}X^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1}X^{n - 2} + \cdots$ . Les deux polynômes sont scindés sur $\mathbb{C}$ , et le théorème 4 donne les moyennes $\frac{1}{n}\Big(-\frac{a_{n - 1}}{a_{n}}\Big) \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{n - 1}\Big(-\frac{(n - 1)a_{n - 1}}{na_{n}}\Big) = -\frac{a_{n - 1}}{na_{n}}.$

\boxed{\text{les racines de } P \text{ et de } P' \text{ ont le même isobarycentre}}

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 4 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Propriété universelle et évaluation Racines et multiplicités L'anneau A[X], degré et intégrité Dérivée formelle et racines multiples Théorème de d'Alembert-Gauss

Thèmes

racines, degré, multiplicité, polynôme dérivé, polynômes complexes

Notions

multiplicité d'une racine, dérivée formelle