Exercice 12

1. On écrit $P \circ P - X = (P \circ P - P) + (P - X)$. Avec $P = \sum a_{k}X^{k}$, $$P \circ P - P = \sum_{k} a_{k}(P^{k} - X^{k}),$$ et chaque $P^{k} - X^{k}$ est divisible par $P - X$ (chapitre 11, théorème 3). Donc $P - X$ divise $P \circ P - X$.

2. Avec $P = X^{2} + 3X + 1$, on a $P \circ P - X = (X^{2} + 3X + 1)^{2} + 3X^{2} + 8X + 4$, qui est le polynôme de l'équation. Il est divisible par $P - X = X^{2} + 2X + 1 = (X + 1)^{2}$, et la division donne $$(z^{2} + 3z + 1)^{2} + 3z^{2} + 8z + 4 = (z + 1)^{2}(z^{2} + 4z + 5).$$