Exercice 11

1. Les racines de $X^{2} + X + 1$ sont $j$ et $\overline{j} = j^{2}$, simples. Comme $j^{3} = 1$, $$j^{3n + 8} + j^{3n + 4} + j^{3n} = j^{2} + j + 1 = 0,$$ et de même en $\overline{j}$. Par la proposition 8, $(X - j)(X - \overline{j}) = X^{2} + X + 1$ divise le polynôme. $$\boxed{\text{oui, pour tout } n \in \mathbb{N}}$$

2. Le polynôme $X^{2} - X = X(X - 1)$ a les racines simples $0$ et $1$ ; il divise $Q = P(X^{2} + 3X)$ si et seulement si $Q(0) = Q(1) = 0$, c'est-à-dire $P(0) = P(4) = 0$. De même, $X^{2} - 2X = X(X - 2)$ divise $P(X^{2})$ si et seulement si $P(0) = P(4) = 0$. $$\boxed{\text{les deux conditions équivalent à } P(0) = P(4) = 0}$$