Exercice 66

Idée. Deux coefficients consécutifs nuls font de $0$ une racine double d'une dérivée de $P$, qui devrait pourtant être simplement scindée.

Soit $P = \sum_{j = 0}^{n} a_{j}X^{j}$ de degré $n \geqslant 1$, et supposons $a_{k} = a_{k + 1} = 0$ ; comme $a_{n} \neq 0$, on a $k + 1 \leqslant n - 1$. Par l'exercice 25, appliqué $k$ fois, $P^{(k)}$ est simplement scindé, de degré $n - k \geqslant 2$. Or $P^{(k)}(0) = k!\,a_{k} = 0$ et $P^{(k + 1)}(0) = (k + 1)!\,a_{k + 1} = 0$ : $0$ est racine au moins double de $P^{(k)}$, ce qui est absurde.