Exercice 65

Idée. Les racines de $Q$ sont racines de $P$, avec une multiplicité au moins égale, donc $Q$ divise $P$, et le quotient est un polynôme borné.

Si $Q = 0$, alors $P = 0$. Sinon, soit $a$ une racine de $Q$ de multiplicité $m$, $Q = (X - a)^{m}Q_{1}$, et $P = (X - a)^{r}P_{1}$ avec $P_{1}(a) \neq 0$ ou $P = 0$. Si l'on avait $r < m$, alors $|P_{1}(z)| \leqslant |z - a|^{m - r}|Q_{1}(z)|$ pour $z \neq a$, et en faisant tendre $z$ vers $a$, $P_{1}(a) = 0$ : contradiction. Par la proposition 16 (i), $Q \mid P$ : $P = RQ$, et $|R(z)| \leqslant 1$ hors des racines de $Q$, donc partout par continuité. Un polynôme non constant n'est pas borné sur $\mathbb{C}$, donc $R$ est une constante $\lambda$ avec $|\lambda| \leqslant 1$. $$\boxed{\text{les couples } (\lambda Q, Q), \ Q \in \mathbb{C}[X], \ |\lambda| \leqslant 1}$$