Exercice 64

1. Si l'un des polynômes était nul, le produit $ABC$ serait nul, donc constant. Si $D$ divise $A$ et $B$, il divise $C = -A - B$, donc le PGCD de la famille $(A, B, C)$, qui vaut $1$ (remarque suivant la proposition 15) : $D$ est constant. Ainsi $A \wedge B = 1$, et de même $B \wedge C = C \wedge A = 1$.

2. En remplaçant $C$ par $-A - B$ et $C'$ par $-A' - B'$, on obtient $$\begin{aligned} BC' - B'C &= -BA' - BB' + B'A + B'B = AB' - A'B, \\ CA' - C'A &= -AA' - BA' + A'A + B'A = AB' - A'B. \end{aligned}$$ Supposons $W = 0$. Alors $AB' = A'B$, donc $A$ divise $A'B$ ; comme $A \wedge B = 1$, le lemme de Gauss (théorème 9) donne $A \mid A'$. Si $A$ n'était pas constant, $A'$ serait un multiple non nul de $A$ de degré $\deg A - 1$ (proposition 11) : c'est impossible, donc $A$ est constant. Les égalités $BC' = B'C$ et $CA' = C'A$ montrent de même que $B$ et $C$ sont constants, et $ABC$ le serait. $$\boxed{W = AB' - A'B = BC' - B'C = CA' - C'A \neq 0}$$

3. Par la proposition 9, on écrit $A = (X - z)^{m}A_{1}$ avec $A_{1}(z) \neq 0$ et $m \geqslant 1$. La règle de dérivation d'un produit donne alors $$A' = (X - z)^{m - 1}\big(mA_{1} + (X - z)A_{1}'\big),$$ puis, en mettant $(X - z)^{m - 1}$ en facteur dans $W = AB' - A'B$, $$W = (X - z)^{m - 1}\Big[(X - z)A_{1}B' - \big(mA_{1} + (X - z)A_{1}'\big)B\Big],$$ donc $z$ est racine de $W$ de multiplicité au moins $m - 1$. Le même calcul vaut pour les racines de $B$, en échangeant les rôles de $A$ et de $B$, puisque $W = -(BA' - B'A)$. Pour les racines de $C$, on le mène sur l'écriture $W = CA' - C'A$ de la question 2.

Soit $z_{1}, \dots, z_{r}$ les racines distinctes de $ABC$, avec $r = r(ABC)$, et $\mu_{i}$ la multiplicité de $z_{i}$ dans $ABC$. Les polynômes $A$, $B$, $C$ étant deux à deux premiers entre eux, ils n'ont deux à deux aucune racine commune (proposition 16 (ii)) : chaque $z_{i}$ est racine d'un seul des trois, avec la multiplicité $\mu_{i}$. Par ce qui précède et la proposition 10, $\prod_{i}(X - z_{i})^{\mu_{i} - 1}$ divise $W$, qui est non nul. En comparant les degrés, et puisque $\sum \mu_{i} = \deg(ABC)$ (proposition 16) : $$\boxed{\deg(ABC) - r(ABC) \leqslant \deg W}$$

4. Les deux termes de $W = AB' - A'B$ sont de degré au plus $\deg A + \deg B - 1$ (propositions 3 et 11), donc $\deg W \leqslant \deg A + \deg B - 1$. Avec la question 3, $\deg A + \deg B + \deg C - r(ABC) \leqslant \deg A + \deg B - 1$, soit $\deg C \leqslant r(ABC) - 1$. Les écritures $W = BC' - B'C$ et $W = CA' - C'A$ donnent de même $\deg A \leqslant r(ABC) - 1$ et $\deg B \leqslant r(ABC) - 1$. $$\boxed{\max(\deg A, \deg B, \deg C) \leqslant r(ABC) - 1}$$

5. Montrons que les solutions sont les triplets $(\lambda g, \mu g, \nu g)$, où $g \in \mathbb{C}[X]$ et $(\lambda, \mu, \nu) \in \mathbb{C}^{3}$ vérifie $\lambda^{n} + \mu^{n} = \nu^{n}$ ; ces triplets sont évidemment solutions.

Premier cas : $x$, $y$, $z$ non nuls, premiers entre eux dans leur ensemble. Supposons-les non tous constants, et posons $A = x^{n}$, $B = y^{n}$, $C = -z^{n}$, de somme nulle. Des polynômes de $\mathbb{C}[X]$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'ils n'ont aucune racine commune : un PGCD non constant aurait une racine (théorème 11), et une racine commune $w$ fournirait le diviseur commun $X - w$. Une racine commune à $A$, $B$, $C$ le serait à $x$, $y$, $z$ : les polynômes $A$, $B$, $C$ sont donc premiers entre eux dans leur ensemble, et $ABC = -(xyz)^{n}$ n'est pas constant. Les racines de $ABC$ sont celles de $xyz$, donc, avec $\delta = \max(\deg x, \deg y, \deg z)$, $$r(ABC) = r(xyz) \leqslant \deg x + \deg y + \deg z \leqslant 3\delta.$$ La question 4 donne alors $n\delta \leqslant 3\delta - 1$, soit $(n - 3)\delta \leqslant -1$, ce qui est impossible pour $n \geqslant 3$. Donc $x$, $y$ et $z$ sont constants.

Cas général. Si $x = y = z = 0$, on prend $g = 0$. Sinon, soit $g$ le PGCD de la famille $(x, y, z)$, et $x = gx_{1}$, $y = gy_{1}$, $z = gz_{1}$. Si $D$ divise $x_{1}$, $y_{1}$ et $z_{1}$, alors $gD$ divise $x$, $y$, $z$, donc $g$, et $D$ est constant : les polynômes $x_{1}$, $y_{1}$, $z_{1}$ sont premiers entre eux dans leur ensemble. En simplifiant par $g^{n} \neq 0$ (intégrité), $x_{1}^{n} + y_{1}^{n} = z_{1}^{n}$. Si $x_{1}$, $y_{1}$, $z_{1}$ sont non nuls, le premier cas montre qu'ils sont constants. Si l'un est nul, par exemple $x_{1} = 0$, alors $y_{1}^{n} = z_{1}^{n}$, et $y_{1}$, $z_{1}$ ne sont pas tous deux nuls ; une racine de $y_{1}$ serait racine de $z_{1}^{n}$, donc de $z_{1}$, et commune à $x_{1} = 0$, $y_{1}$, $z_{1}$ : c'est exclu, donc $y_{1}$ est constant, puis $z_{1}$ aussi, puisque $n\deg z_{1} = n\deg y_{1}$. Les autres cas sont identiques. $$\boxed{x^{n} + y^{n} = z^{n} \iff (x, y, z) = (\lambda g, \mu g, \nu g), \quad g \in \mathbb{C}[X], \ \lambda^{n} + \mu^{n} = \nu^{n}}$$

6. Le développement donne $(X^{2} - 1)^{2} + 4X^{2} = X^{4} + 2X^{2} + 1 = (X^{2} + 1)^{2}$. Pour $n = 2$, il existe donc des solutions non constantes et premières entre elles, comme il existe des triplets pythagoriciens d'entiers : le résultat de la question 5 est faux pour $n = 2$. Avec $A = (X^{2} - 1)^{2}$, $B = 4X^{2}$ et $C = -(X^{2} + 1)^{2}$, deux à deux sans racine commune, les racines distinctes de $ABC$ sont $1$, $-1$, $0$, $\mathrm{i}$, $-\mathrm{i}$, d'où $r(ABC) = 5$, et le plus grand degré vaut $4 = r(ABC) - 1$ : l'inégalité de Mason-Stothers est une égalité dans cet exemple, elle ne peut donc pas être améliorée.

À retenir. Pour les entiers, l'équation de Fermat $x^{n} + y^{n} = z^{n}$, $n \geqslant 3$, n'a été résolue qu'au milieu des années 1990, par Andrew Wiles ; pour les polynômes, quelques lignes suffisent. La différence tient à la dérivation, qui n'a pas d'équivalent dans $\mathbb{Z}$ : c'est elle qui, par le polynôme $W$, relie le degré d'un polynôme au nombre de ses racines distinctes.

Les huit derniers exercices sont des problèmes à traiter en autonomie ; le corrigé indique la démarche, puis la rédige.