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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Exercices de synthèse

Exercice 67

Démonstration

Soit P∈ℝ[X]P \in \mathbb{R}[X] non constant, simplement scindé. Montrer que pour tout a∈ℂa \in \mathbb{C}, les racines complexes de P−aP - a sont de multiplicité au plus 22.

Corrigé

Idée. Une racine triple de P−aP - a serait une racine commune à P′P' et P′′P''.

Si zz est racine de multiplicité au moins 33 de P−aP - a, alors P′(z)=P′′(z)=0P'(z) = P''(z) = 0, puisque (P−a)′=P′(P - a)' = P'. Or P′P' est simplement scindé sur ℝ\mathbb{R} (exercice 25) : zz est l'une de ses racines, réelle et simple, donc P′′(z)≠0P''(z) \neq 0. C'est absurde.

Énoncé PDF, p. 12Corrigé PDF, p. 27Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Racines et multiplicitésDérivée formelle et racines multiples

Thèmes

racines, multiplicité

Notions

multiplicité d'une racine

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