Exercice 68

Idée. On compte les racines de $P'$ : les racines distinctes de $P$ et de $P - 1$ sont nombreuses, et $P - Q$ s'annule en chacune.

Quitte à échanger, $n = \deg P \geqslant \deg Q$. Soit $a_{1}, \dots, a_{r}$ les racines distinctes de $P$, de multiplicités $m_{i}$, et $b_{1}, \dots, b_{s}$ celles de $P - 1$, de multiplicités $n_{j}$ ; ces deux ensembles sont disjoints. Chaque $a_{i}$ est racine de $P'$ de multiplicité $m_{i} - 1$, et chaque $b_{j}$ de multiplicité $n_{j} - 1$, puisque $(P - 1)' = P'$. Donc $$(n - r) + (n - s) = \sum (m_{i} - 1) + \sum (n_{j} - 1) \leqslant \deg P' = n - 1,$$ soit $r + s \geqslant n + 1$. Par hypothèse, $Q$ s'annule en les $a_{i}$ et $Q - 1$ en les $b_{j}$ : le polynôme $P - Q$, de degré au plus $n$, a au moins $n + 1$ racines distinctes. $$\boxed{P = Q}$$