Exercice 69

Idée. La décomposition de $\frac{P'}{P}$ donne une relation barycentrique entre une racine de $P'$ et les racines de $P$.

On suppose $P$ non constant, sans quoi tout complexe est racine de $P' = 0$ et l'énoncé est faux. Soit $P = c\prod (X - a_{k})^{m_{k}}$ et $z$ une racine de $P'$. Si $z$ est racine de $P$, c'est un barycentre trivial. Sinon, la proposition 24 donne $$0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{k} \frac{m_{k}}{z - a_{k}} = \sum_{k} \frac{m_{k}(\overline{z} - \overline{a_{k}})}{|z - a_{k}|^{2}}.$$ En conjuguant, $\sum \lambda_{k}(z - a_{k}) = 0$ avec $\lambda_{k} = \frac{m_{k}}{|z - a_{k}|^{2}} > 0$, soit $$\boxed{z = \frac{\sum \lambda_{k}a_{k}}{\sum \lambda_{k}}, \qquad \lambda_{k} > 0}$$ C'est le théorème de Gauss-Lucas : les racines de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe de celles de $P$, ce qui généralise l'exercice 13.