Exercice 70

Idée. L'inégalité triangulaire localise les racines ; pour la simplicité, on multiplie par $X - 1$.

On a $P(1) = 0$. Si $P(z) = 0$ avec $|z| \geqslant 1$, alors $n|z|^{n} = \big|\sum_{k < n} z^{k}\big| \leqslant \sum_{k < n} |z|^{k} \leqslant n|z|^{n - 1}$, donc $|z| \leqslant 1$, soit $|z| = 1$, et toutes ces inégalités sont des égalités. Le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire impose que tous les $z^{k}$ aient le même argument que $z^{0} = 1$, donc $z$ est réel positif : $z = 1$.

Pour la simplicité, on considère $$R = (X - 1)P = nX^{n + 1} - (n + 1)X^{n} + 1, \qquad R' = n(n + 1)X^{n - 1}(X - 1).$$ Une racine multiple $z \neq 1$ de $P$ serait racine de $R$ et de $R'$, donc égale à $0$ ; or $R(0) = 1$. Enfin, le calcul donne $R''(1) = n(n + 1)$, qui est non nul : $1$ est racine double de $R$, donc simple de $P$. $$\boxed{\text{les racines autres que } 1 \text{ sont de module } < 1, \text{ et toutes sont simples}}$$