Exercice 71

Idée. Le polynôme $Q$ vérifie $Q - Q' = P$, donc $f' = -Pe^{-t}$ garde un signe constant.

La somme est finie, et $Q - Q' = P$. Quitte à remplacer $P$ par $-P$, on suppose $P > 0$ sur $\mathbb{R}$ : $P$ ne s'annule pas, donc garde un signe constant par le théorème des valeurs intermédiaires. Alors $f'(t) = (Q'(t) - Q(t))\mathrm{e}^{-t} = -P(t)\mathrm{e}^{-t} < 0$ : $f$ est strictement décroissante, et $f(t) \to 0$ en $+\infty$ par croissances comparées. Donc $f(t) > 0$ pour tout $t$, c'est-à-dire $Q(t) > 0$. $$\boxed{Q \text{ n'a aucune racine réelle}}$$