Exercice 72

Idée. L'équation $F(z) = w$ revient à trouver une racine de $P - wQ$ ; d'Alembert-Gauss en fournit une, sauf si ce polynôme est constant, ce qui n'arrive que pour une valeur de $w$ au plus.

On écrit $F = \frac{P}{Q}$ sous forme irréductible. Soit $w \in \mathbb{C}$. Si $P - wQ$ n'est pas constant, il a une racine $z$ (théorème 11), qui n'est pas un pôle : sinon $Q(z) = 0$ et $P(z) = 0$, ce que la forme irréductible interdit (proposition 16). Donc $F(z) = w$. Si $P - w_{1}Q$ et $P - w_{2}Q$ étaient constants avec $w_{1} \neq w_{2}$, leur différence $(w_{2} - w_{1})Q$ le serait, puis $P$ aussi, et $F$ serait constante. Il y a donc au plus une valeur de $w$ non atteinte. $$\boxed{F(\mathbb{C} \setminus \{\text{pôles}\}) = \mathbb{C} \ \text{ou} \ \mathbb{C} \setminus \{w_{0}\}}$$ Les deux cas se produisent : un polynôme non constant atteint toutes les valeurs, alors que $\frac{1}{X}$ n'atteint jamais $0$, et $\frac{X + 1}{X}$ n'atteint jamais $1$.