Exercice 9

1. Soit $B = AQ + R$ la division euclidienne de $B$ par $A$ (si $A = 0$, alors $A \circ P = 0$ divise $B \circ P$, donc $B \circ P = 0$ et $B = 0$ par la proposition 4). En composant par $P$ : $$B \circ P = (A \circ P)(Q \circ P) + R \circ P.$$ Comme $A \circ P$ divise $B \circ P$, il divise $R \circ P$. Or, par la proposition 4, $$\deg(R \circ P) = \deg R \times \deg P < \deg A \times \deg P = \deg(A \circ P),$$ donc $R \circ P = 0$, puis $R = 0$. $$\boxed{A \mid B}$$

2. Si $Q = PS$, alors $Q(X^{m}) = P(X^{m})S(X^{m})$. La réciproque est la question 1 avec le polynôme non constant $X^{m}$.