Exercice 8

1. On écrit $k = qp + r$ avec $0 \leqslant r < p$. Alors $X^{k} = X^{r}(X^{qp} - 1) + X^{r}$. D'après la formule $a^{q} - 1 = (a - 1)(a^{q - 1} + \cdots + 1)$ appliquée à $a = X^{p}$, le polynôme $X^{p} - 1$ divise $X^{qp} - 1$, et $\deg X^{r} = r < p$ : par unicité, le reste est $X^{r}$.

2. Par linéarité de la division, le reste de $P$ est $\sum_{k} a_{k}X^{r_{k}}$, où $r_{k}$ est le reste de $k$ modulo $p$ : on réduit chaque exposant modulo $p$. Ce polynôme est de degré au plus $p - 1$, et l'unicité conclut. Comme $2026 \equiv 1$ et $13 \equiv 3 \;[5]$ : $$\boxed{X^{2026} + X^{13} + 1 \text{ a pour reste } X^{3} + X + 1 \text{ modulo } X^{5} - 1}$$ À retenir. Modulo $X^{p} - 1$, on calcule avec $X^{p} = 1$, exactement comme modulo $p$ on calcule avec des restes au chapitre 12.