Exercice 7

La division de $X^{4} - X + a$ par $X^{2} - aX + 1$ donne le reste $$R = (a^{3} - 2a - 1)X + (1 + a - a^{2}).$$ Il faut $a^{2} = a + 1$ et $a^{3} = 2a + 1$. La première égalité entraîne la seconde : si $a^{2} = a + 1$, alors $a^{3} = a^{2} + a = 2a + 1$. $$\boxed{a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \qquad\text{ou}\qquad a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}}$$