Exercice 6

La division euclidienne de $X^{4} + X^{3} + \lambda X^{2} + \mu X + 2$ par $X^{2} + 2$ donne le quotient $X^{2} + X + \lambda - 2$ et le reste $$R = (\mu - 2)X + 6 - 2\lambda.$$ La divisibilité équivaut à $R = 0$. $$\boxed{(\lambda, \mu) = (3, 2)}$$ On peut aussi évaluer en la racine $\mathrm{i}\sqrt{2}$ : $4 - 2\mathrm{i}\sqrt{2} - 2\lambda + \mathrm{i}\sqrt{2}\mu + 2 = 0$, ce qui donne la même chose en séparant parties réelle et imaginaire, pour $\lambda$ et $\mu$ réels.