ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Divisibilité et division euclidienne

Exercice 5

Calcul

Effectuer les divisions euclidiennes suivantes.

1. $X^{5} - 3X^{3} + 2X + 1$ par $X^{2} + X + 1$ .

2. $2X^{4} - X^{3} + 3X - 1$ par $X^{2} - 2X + 3$ .

3. $X^{6} - 1$ par $X^{3} + X - 1$ .

Corrigé

On effectue chaque division par la méthode de la potence, et l'on vérifie en développant $BQ + R$ .

(i) $\boxed{X^{5} - 3X^{3} + 2X + 1 = (X^{2} + X + 1)(X^{3} - X^{2} - 3X + 4) + (X - 3)}$

(ii) $\boxed{2X^{4} - X^{3} + 3X - 1 = (X^{2} - 2X + 3)(2X^{2} + 3X) + (-6X - 1)}$

(iii) $\boxed{X^{6} - 1 = (X^{3} + X - 1)(X^{3} - X + 1) + (X^{2} - 2X)}$

Dans chaque cas, le reste est de degré strictement inférieur à $2$ , ou à $3$ , comme l'exige le théorème 2.

division euclidienne