Exercice 4

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 1$. On montre par récurrence que $P(u_{n}) = u_{n}$ : c'est vrai pour $n = 0$ puisque $P(0) = 0$, et si $P(u_{n}) = u_{n}$, alors $$P(u_{n + 1}) = P(u_{n}^{2} + 1) = P(u_{n})^{2} + 1 = u_{n}^{2} + 1 = u_{n + 1}.$$ Or $$u_{n + 1} - u_{n} = u_{n}^{2} - u_{n} + 1 = \Big(u_{n} - \frac{1}{2}\Big)^{2} + \frac{3}{4} > 0 :$$ la suite est strictement croissante, donc ses termes sont deux à deux distincts. Le polynôme $P - X$ a une infinité de racines : il est nul (théorème 3). Réciproquement, $P = X$ convient. $$\boxed{P = X}$$ Piège. Sans la condition $P(0) = 0$, il y a d'autres solutions : par exemple $P = X^{2} + 1$, puisque $P(X^{2} + 1)$ et $P^{2} + 1$ valent tous deux $(X^{2} + 1)^{2} + 1$.